康托展开 & 逆康托展开

定义

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建hash表时的空间压缩。

设有(n)个数(（1,2,3,4,dots ,n）)，组成不同(n!) 种的排列组合，其康托展开唯一且最大约为(n!)

康托展开表示的就是当前排列在(n)个不同元素的全排列中的名次。

时间复杂度(O(n^2))

适用范围

搜索，动态规划中常常用一个数字来表示一种状态，大大降低空间复杂度

公式

(X=a_1times(n?1)! a_2times(n?2)! ? a_ntimes0!)

(X) 代表当前排列在全排列中的排名

(a_i) 代表当前数是数列中未出现的数中第几小的 从0开始计数，0是第一小的数

例如 $ 4,2,3 ,1 $

(4) 是当前数列中未出现的数中第(3) 小的，(X = 3*(4-1)!)

(2) 是当前数列中未出现的数中第(1) 小的，(X = 1*(4-2)!)

(3) 是当前数列中未出现的数中第(1) 小的，(X =1*(4-3)!) ,因为(2) 已经输出过了，所以不算

(1) 是当前数列中未出现的数中第(0) 小的，(X = 0*(4-4)!)

这要就求出了(4,2,3 ,1) 所唯一对应的在全排列中的名次(X = 22)

• 注意到我们每次要用到 当前有多少个小于它的数还没有出现
• 这里用树状数组统计比它小的数出现过的次数就可以了，可以优化到(O(nlog{n}))

代码

先预处理阶乘

void init() {
    fact[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= 9;   i) fact[i] = fact[i - 1] * i;
    // 递推求阶乘
}

(cantor)函数

int cantor(int a[],int n) {
    bool st[10];// 标记数组
    memset(st,0,sizeof st);
    int res = 0;
    for(int i = 0;i < n;   i) {
        int cnt = 0;
        for(int j = 1;j < a[i];   j) if(!st[j]) cnt   ;
        // 找到a[i]是当前数列中未出现的数中第几小的
        st[a[i]] = 1;// 把这个数删掉
        res  = cnt * fact[n - i - 1];// 累加值
    }
    return res   1;// 如果输出的是排名就要   1，如果是hash值可以直接返回 res
}

逆康托展开

因为排列的排名和排列是一一对应的，所以康托展开满足双射关系，是可逆的。

可以通过类似上面的过程倒推回来。

首先把排名(X) 减去(1) ，变成以(0) 开始的排名

例如求 (1,2,3,4) 的全排列序列中，排名第(22) 的序列是什么

(22 - 1 = 21) ， (21) 代表着有多少个排列比这个排列小

第一个数 (a[1])

(lfloor{21/(4-1)!}rfloor = 3) 比$a[1] $ 小且没有出现过的数有(3) 个，(a[1]=4)

(X=Xmod3times(4-1)!=3)

第二个数(a[2])

(lfloor{3/(4-2)!}rfloor=1) 比(a[2]) 小且没有出现过的数有(1) 个，所以(a[2]=2)

(X=Xmod1times(4-2)!=1)

第三个数(a[3])

(lfloor{1/(4-3)!}rfloor=1) 比(a[3]) 小且没有出现过的数有(1) 个，所以(a[3]=3)

(X=Xmod1times(4-3)!=0)

第四个数(a[4])

(lfloor{0/(4-4)!}rfloor=0) 比(a[4]) 小且没有出现过的数有(0) 个，所以(a[4]=1)

最终得到数列(4,2,3,1)

代码

vector<int> incantor(int x,int n) {
    x--;// 得到以0开始的排名
    vector<int> res(n);// 保存数列答案
    int cnt;
    bool st[10];// 标记数组
    memset(st,0,sizeof st);
    for(int i = 0;i < n;   i) {
        cnt = x/fact[n - i - 1];// 比a[i]小且没有出现过的数的个数
        x %= fact[n - i - 1];// 更新 x
        for(int j = 1;j <= n;   j) {// 找到a[i]，从1开始向后找
            if(st[j]) continue;// 如果被标记过，就跳过
            if(!cnt) {// 如果cnt == 0说明当前数是a[i]
                st[j] = 1;//标记
                res[i] = j;// 第i位是j
                break;
            }
            cnt --;// 如果当前不是0，就继续往后找
        }
    }
    return res;// 返回答案
}