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一、Non-linear Hypotheses

线性回归和逻辑回归在特征很多时，计算量会很大。
一个简单的三层神经网络模型：
\[a_i^{(j)} = \text{"activation" of unit $i$ in layer $j$}\]\[\Theta^{(j)} = \text{matrix of weights controlling function mapping from layer $j$ to layer $j+1$}\]

此中：\[a_1^{(2)} = g(\Theta_{10}^{(1)}x_0 + \Theta_{11}^{(1)}x_1 + \Theta_{12}^{(1)}x_2 + \Theta_{13}^{(1)}x_3)\]\[a_2^{(2)} = g(\Theta_{20}^{(1)}x_0 + \Theta_{21}^{(1)}x_1 + \Theta_{22}^{(1)}x_2 + \Theta_{23}^{(1)}x_3)\]\[a_3^{(2)} = g(\Theta_{30}^{(1)}x_0 + \Theta_{31}^{(1)}x_1 + \Theta_{32}^{(1)}x_2 + \Theta_{33}^{(1)}x_3)\]\[h_\Theta(x) = a_1^{(3)} = g(\Theta_{10}^{(2)}a_0^{(2)} + \Theta_{11}^{(2)}a_1^{(2)} + \Theta_{12}^{(2)}a_2^{(2)} + \Theta_{13}^{(2)}a_3^{(2)})\]

二、vectorized implementation

将上面公式中函数\(g\)中的对象用\(z\)取代：
\[a_1^{(2)} = g(z_1^{(2)})\]\[a_2^{(2)} = g(z_2^{(2)})\]\[a_3^{(2)} = g(z_3^{(2)})\]
令\(x=a^{(1)}\)：
\[z^{(j)} = \Theta^{(j-1)}a^{(j-1)}\]
得到：
\[ \begin{aligned}z^{(j)} = \begin{bmatrix}z_1^{(j)} \\ z_2^{(j)} \\ \cdots \\z_n^{(j)}\end{bmatrix}\end{aligned} \]

这块的记号对照多，，用例子梳理下：
实现一个逻辑与的神经网络：

那么：


所以有：

再来一个多层的，实现XNOR成果（两输入都为0或都为1，输出才为1）：

根基的神经元：

逻辑与

逻辑或

逻辑非

先结构一个暗示后半部分的神经元：
这样的：

接着将前半部分组合起来：

三、Multiclass Classification