设 (t) 为 (m) 个集合中的元素

在考虑集合个数为 (1) 的时候，(t) 被加了 (C_m^1) 次

在考虑集合个数为 (2) 的时候，(t) 被减了 (C_m^2) 次

在考虑集合个数为 (3) 的时候，(t) 被加了 (C_m^3) 次

...

(t) 总共被加了 (C_m^1-C_m^2 C_m^3-C_m^4 cdots pm C_m^m) 次
（(m) 为奇数时为 ( C_m^m)，偶数时为 (-C_m^m)）

上面的式子可以写成

[ begin{aligned} &sum_{i=1}^m -1 times (-1)^i C_m^i =&-sum_{i=1}^m (-1)^i C_m^i quad dots(mathrm{I}) end{aligned} ]

由二项式定理得

[ (-1 1)^m=sum_{i=0}^m (-1)^i cdot 1^{m-i} cdot C_m^i=sum_{i=0}^m (-1)^i C_m^i=1 ]

所以

[ (mathrm{I})=-left[ (-1 1)^m -C_m^0 right]=1 ]

所以 (t) 被加了 (1) 次，所以容斥原理正确